Blog

Aug 13, 2023

Der „Hairy Ball Theorem“ der Mathematik zeigt, warum es immer mindestens einen Ort auf der Erde gibt, an dem kein Wind weht

Hier erfahren Sie, was uns die schwierigste Mathematikaufgabe über Wind, Antennen und Kernfusion lehren kann. Sie werden vielleicht überrascht sein zu erfahren, dass man die Haare einer Kokosnuss nicht flach kämmen kann, ohne dass ein Haar entsteht

Hier erfahren Sie, was uns die schwierigste Mathematikaufgabe über Wind, Antennen und Kernfusion lehren kann.

Sie werden vielleicht überrascht sein, wenn Sie erfahren, dass man die Haare einer Kokosnuss nicht flach kämmen kann, ohne dass ein Wirbel entsteht. Vielleicht noch überraschender ist, dass diese alberne Behauptung mit einem noch alberneren Namen, dem „Satz der haarigen Kugel“, eine stolze Entdeckung aus einem Zweig der Mathematik namens Topologie ist. Abgesehen von jugendlichem Humor hat das Theorem weitreichende Konsequenzen für die Meteorologie, die Funkübertragung und die Kernenergie.

Hier kann „Cowlick“ entweder eine kahle Stelle oder ein nach oben ragendes Haarbüschel bedeuten, wie es die Figur Alfalfa in „Die kleinen Strolche“ trägt. Natürlich beziehen sich Mathematiker bei der Formulierung des Problems nicht auf Kokosnüsse oder Wirbel. In einer technischeren Sprache kann man sich die Kokosnuss als Kugel und die Haare als Vektoren vorstellen. Ein Vektor, oft als Pfeil dargestellt, ist einfach etwas mit einer Größe (oder Länge) und einer Richtung. Wenn man die Haare flach gegen die Seiten der Kokosnuss kämmt, entsteht das Äquivalent von Tangentenvektoren – solchen, die die Kugel entlang ihrer Länge genau an einem Punkt berühren. Außerdem möchten wir einen glatten Kamm haben, damit die Haare nirgendwo gescheitelt werden. Mit anderen Worten: Die Anordnung der Vektoren auf der Kugel muss kontinuierlich sein, was bedeutet, dass benachbarte Haare ihre Richtung nur allmählich und nicht abrupt ändern sollten. Wenn wir diese Kriterien zusammenfügen, besagt der Satz, dass, egal wie man versucht, jedem Punkt auf einer Kugel Vektoren zuzuordnen, zwangsläufig etwas Hässliches passieren wird: Es wird eine Diskontinuität (einen Teil), einen Vektor mit der Länge Null (eine Glatze) geben Punkt) oder ein Vektor, der die Kugel nicht tangiert (Alfalfa). Im vollen Fachjargon: Ein kontinuierliches, nicht verschwindendes Tangentenvektorfeld auf einer Kugel kann nicht existieren.

Dieser Anspruch erstreckt sich auf alle Arten von Pelzfiguren. Auf dem Gebiet der Topologie untersuchen Mathematiker Formen wie in der Geometrie, stellen sich jedoch vor, dass diese Formen aus einem immer elastischen Gummi bestehen. Obwohl sich dieser Gummi in andere Formen formen lässt, ist er nicht in der Lage, zu reißen, zu verschmelzen oder durch sich selbst hindurchzugehen. Wenn eine Form ohne diese Schritte sanft in eine andere verformt werden kann, dann sind diese Formen aus Sicht der Topologen gleichwertig. Dies bedeutet, dass der Satz über haarige Bälle automatisch auf haarige Würfel, haarige Stofftiere und haarige Baseballschläger anwendbar ist, die alle topologisch äquivalent zu Kugeln sind. (Sie könnten sie alle aus einem Knäuel Play-Doh formen, ohne gegen die Gummiregeln zu verstoßen.)

Etwas, das nicht einer Kugel entspricht, ist Ihre Kopfhaut. Eine einzelne Kopfhaut kann zu einer Fläche abgeflacht und in eine Richtung gekämmt werden, wie die Fasern eines Zottelteppichs. Leider kann Mathe deinen Kopf nicht entschuldigen. Donuts unterscheiden sich auch von Kugeln, sodass ein haariger Donut – zweifellos ein unappetitliches Bild – glatt gekämmt werden kann.

Hier ist eine merkwürdige Konsequenz des Hairy-Ball-Theorems: Es wird immer mindestens einen Punkt auf der Erde geben, an dem der Wind nicht über die Oberfläche weht. Der Wind strömt in einer kontinuierlichen Zirkulation um den Planeten, und seine Richtung und Stärke an jedem Ort auf der Oberfläche kann durch tangentiale Vektoren zum Globus modelliert werden. (Vektorgrößen müssen keine physikalischen Längen darstellen, wie etwa die von Haaren.) Dies erfüllt die Prämissen des Satzes, der impliziert, dass die Böen irgendwo abklingen müssen (wodurch ein Wirbel entsteht). Ein Wirbelwind kann im Auge eines Wirbelsturms oder Wirbels entstehen oder weil der Wind direkt in den Himmel weht. Dieses übersichtliche Online-Tool stellt aktuelle Windströmungen auf der Erde dar und Sie können die wirbelnden Wirbel deutlich erkennen.

Um eine weitere seltsame Auswirkung des Satzes zu beobachten, drehen Sie einen Basketball in die gewünschte Richtung. Es wird immer einen Punkt auf der Oberfläche geben, der die Geschwindigkeit Null hat. Auch hier ordnen wir jedem Punkt einen Tangentenvektor zu, basierend auf der Richtung und Geschwindigkeit an diesem Punkt auf dem Ball. Das Drehen ist eine kontinuierliche Bewegung, daher gilt das Hairy-Ball-Theorem und gewährleistet einen Punkt ohne jegliche Geschwindigkeit. Bei näherer Betrachtung könnte dies offensichtlich erscheinen. Eine sich drehende Kugel dreht sich um eine unsichtbare Achse und die Punkte an beiden Enden dieser Achse bewegen sich nicht. Was wäre, wenn wir genau entlang dieser Achse ein kleines Loch durch die Kugel bohren würden, um die stationären Punkte zu entfernen? Dann scheint es, als würde sich jeder Punkt bewegen. Verstößt dies gegen das Hairy-Ball-Theorem? Nein, denn das Bohren eines Lochs verwandelte die Kugel in einen Donut! Sogar Donuts mit ungewöhnlich langen, schmalen Löchern verstoßen gegen die Regeln des Theorems – Widerspruch vermieden.

Lassen wir uns von Spielzeugszenarien abwenden: Der Satz des haarigen Balls setzt den Funkingenieuren tatsächlich spürbare Einschränkungen auf. Antennen senden Funkwellen je nach Designentscheidung in unterschiedliche Richtungen aus. Manche richten ihre Signale gezielt in eine bestimmte Richtung, andere strahlen breiter aus. Man könnte versucht sein, die Dinge zu vereinfachen und nur Antennen zu bauen, die gleichzeitig Signale gleicher Stärke in alle Richtungen senden, sogenannte isotrope Antennen. Es gibt nur ein Problem: Eine bestimmte merkwürdige Tatsache aus der Topologie besagt, dass isotrope Antennen nicht existieren können. Stellen Sie sich eine Wellenkugel vor, die von einer zentralen Quelle ausgeht. In ausreichender Entfernung von der Quelle weisen Radiowellen ein elektrisches Feld senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung auf, das heißt, das Feld verläuft tangential zur Wellensphäre. Das Hairy-Ball-Theorem besagt, dass dieses Feld irgendwo auf Null abfallen muss, was eine Störung im Antennensignal impliziert. Isotrope Antennen dienen lediglich als theoretische Ideale, mit denen wir die tatsächliche Antennenleistung vergleichen. Interessanterweise überträgt Schall eine andere Art von Welle ohne die senkrechte Eigenschaft von Radiowellen, sodass Lautsprecher möglich sind, die Schall in alle Richtungen gleicher Intensität abgeben.

Die vielleicht coolste Anwendung des Hairy-Ball-Theorems betrifft die Kernfusionsenergie. Die Fusionsenergie ist vielversprechend, um – vielleicht eines Tages – zur Linderung der Energiekrise beizutragen. Es hat das Potenzial, große Energiemengen zu erzeugen, ohne die Umweltbedenken, die fossile Brennstoffe mit sich bringen, und mit weitaus weniger radioaktiven Risiken, die mit herkömmlichen Kernspaltungsreaktoren einhergehen. Kurz gesagt, Fusionsreaktoren beginnen damit, dass sie einen Brennstoff wie Wasserstoff nehmen und ihn starker Hitze und Druck aussetzen, wodurch er in seine Bestandteile zerrissen wird und Plasma entsteht. Plasma ist eine Wolke aus Elektronen und anderen geladenen Teilchen, die herumschwirren und gelegentlich zu neuen Teilchen verschmelzen und dabei Energie freisetzen.

—Das Universum würde ohne Mathematik keinen Sinn ergeben

– Jahrhundertealtes „unmögliches“ Mathematikproblem mithilfe der seltsamen Physik von Schrödingers Katze gelöst

– Die neu entdeckte „Einstein“-Fliese ist eine 13-seitige Form, die ein jahrzehntealtes mathematisches Problem löst

Beim Bau von Fusionsreaktoren gibt es eine grundlegende technische Hürde: Wie kann man Plasma eindämmen, das zehnmal heißer ist als der Kern der Sonne? Kein Material kann dieser Temperatur standhalten, ohne selbst in Plasma zu zerfallen. Deshalb haben Wissenschaftler eine clevere Lösung gefunden: Sie nutzen die magnetischen Eigenschaften des Plasmas, um es in einem starken Magnetfeld einzuschließen. Die natürlichsten Behälterdesigns (Denkboxen oder Kanister) sind alle topologisch äquivalent zu Kugeln. Ein Magnetfeld um jede dieser Strukturen würde ein kontinuierliches Tangentenvektorfeld bilden, und an diesem Punkt wissen wir, was mit solch haarigen Konstruktionen passiert. Ein Nullpunkt im Magnetfeld bedeutet ein Leck im Behälter, was eine Katastrophe für den gesamten Reaktor bedeutet. Aus diesem Grund verfügt das führende Design für Fusionsreaktoren, der Tokamak, über eine ringförmige Kammer. Das Megaprojekt International Thermonuclear Experimental Reactor (ITER) plant, den Bau eines neuen Tokamaks in Frankreich bis 2025 abzuschließen, und die Beteiligten behaupten, dass ihr magnetisches Einschlusssystem „das größte und am besten integrierte supraleitende Magnetsystem sein wird, das jemals gebaut wurde“. Diese Topologie spielt eine Rolle in unserer Zukunft mit sauberer Energie.

Dieser Artikel wurde zuerst auf ScientificAmerican.com veröffentlicht. © ScientificAmerican.com. Alle Rechte vorbehalten. Folgen Sie Scientific American auf Twitter @SciAm und @SciamBlogs. Besuchen Sie ScientificAmerican.com für die neuesten Nachrichten aus Wissenschaft, Gesundheit und Technologie.

Bleiben Sie über die neuesten wissenschaftlichen Nachrichten auf dem Laufenden, indem Sie sich für unseren Essentials-Newsletter anmelden.

Jack Murtagh schreibt über Mathematik und Rätsel, darunter eine Reihe über mathematische Kuriositäten bei Scientific American und eine wöchentliche Rätselkolumne bei Gizmodo. Seine Originalrätsel wurden unter anderem in der New York Times, dem Wall Street Journal und der Los Angeles Times veröffentlicht. Er hat einen Ph.D. in theoretischer Informatik von der Harvard University.

Wissenschaftler decken verborgene Mathematik auf, die genetische Mutationen steuert

Dank Supercomputern identifizieren Mathematiker nach 32 Jahren endlich eine „scheinbar unmögliche“ Zahl

Lyme-Borreliose: Symptome, Diagnose und Behandlung

Von Harry Baker, 25. August 2023

Von Samia Almoughrabie, 25. August 2023

Von Patrick Pester 25. August 2023

Von Sascha Pare 25. August 2023

Von Robert Lea, 25. August 2023

Von Richard Pallardy, 25. August 2023

Von Ben Turner, 24. August 2023

Von Jennifer Nalewicki, 24. August 2023

Von Robert Lea, 24. August 2023

Von Jennifer Nalewicki, 24. August 2023

Von Sascha Pare 24. August 2023